判断两个函数是否相等，需要综合考虑以下几个关键要素：
定义域：
两个函数的定义域必须相同。如果定义域不同，即使函数表达式相同，它们也不是相同的函数。
对应法则：
两个函数在相同的定义域内，对应的法则（或称为映射规则）必须相同。这意味着对于定义域内的每一个元素，两个函数都应该有相同的输出值。
值域：
两个函数的值域也必须相同。即使定义域和对应法则相同，如果值域不同，那么这两个函数也不相同。
函数表达式：
有时需要将函数表达式化简到最简形式，以便更容易比较它们是否相等。
单射性和满射性：
在判断函数是否相等时，有时还需要考虑函数的单射性（一对一映射）和满射性（到上）。但在大多数情况下，只要定义域、对应法则和值域相同，就可以认为两个函数是相等的。
图象法：
如果两个函数的图象完全重合，则这两个函数相同。在比较图象时，需要先化简函数表达式，确保比较时图象一致。
垂线检验：
确定一个 $x$ 值是否对应唯一的 $y$ 值。如果一个 $y$ 值对应多个 $x$ 值，则不符合函数的定义。通过在函数图象上作垂线，检查垂线与图象的交点数量，如果交点唯一，则函数是单射。
总结起来，判断两个函数是否相等需要综合考虑它们的定义域、对应法则（或表达式）、以及通过图象或垂线检验等方法来验证函数值的一致性。